「简单学习经验」如何学基础数学

前情提要:为什么要学数学?
很多人都会抱怨数学到底有什么用,学习了那么多又始终用不上几个公式还要反复的死磕绩点,去刷题。尤其是国内〔全国卷(数学)一〕与其他历次高考模拟题更是把「让考生去死」这一反人类的内卷方式发挥到了极致,更是把所有人对于数学的热情磨灭到了零点。
但事实是,不管是世界还是中国,数学教育都有着严重的教育与实际生活脱钩的现象。

实际上,数学的作用不仅仅只是思维的锻炼,更实际的说,她(指数学)的魅力是思维,是思辨,是每一个公式背后的证明与推导。但作为数学「学习者」以及非数学专业的普通「用数学人」来说,需要在乎的更多是数学如何实际的运用到我们的生活。当然,你也可以更加功利的说是怎么卷赢别人。

我常举的一个例子是在统计学上,一个实二次型有i与j两个下标,这又可以写成一个n阶的方阵。但是在不优化算法的前提下,我们的预期复杂度是对于i与j共同求和,也就是2个for循环,这会让时间复杂度变为O(n^2),但通过一个非退化的矩阵变换,我们其实能把一个统计学意义上的二次型变为计算机算着舒服的标准二次型(仅有一个下标);如果这样实现一个算法是可行的,我们就为计算机节省了庞大的运算开支。

另一个例子则是在光学处理以及底层的一些模型构造上,如何通过多项式拟合一个曲线,如何通过不精确或者精确的方式去找到高次方程的根,这都是很有意义的一件事。

根本上说,数学是一套基于「几个公理」推演出的一套能够自恰的哲学体系,而数学与逻辑学的本质区别在于:1)数学容许语言的存在,你可以通过在不引起较大歧义的情况下,用人类语言描述一个数学规律是否存在。2)数学是人类思维历史的重要演变过程,逻辑需要严格自恰,而数学可以随着人类意识所左右,亦或是根据我的需求去改造他。

如欧几里得几何学与非欧几何学最主要的区别就是改了一条公理 —— 是否承认平行线的存在,比如我现在认为直线可以无限延长,但总的长度是有限的。这样拟合一个球体,我们便可以研究一些地球地理的数学性质。

那话又要扯回来,数学又或多或少的在出国留学亦或是国内卷赢其他人的「伟大复兴」上有着举足轻重的地位。那么如何在短时间内卷赢所有人就成了本文重中之重。不过需要注意的是,这篇文章或多或少会有笔者自己的经验之谈,还请看客们不要全盘照抄。

Chap.1 推荐用英文学习数学

实际上,只要你有高考的词汇量,阅读纯英文的数学教科书是绰绰有余的。只要多记一些数学特有的名词或者连词就可以,譬如thus, therefore, since, as a result,另外,命题(proposition),推论(corollary),定义(definition),引理(lemma),也是常见的数学词汇。

因国内目前数学教材实在是烂的透顶,而计划学术又干碎了新的数学教材的广泛运用,虽然也不乏有革新的数学教材(如黄皮高等代数,北大数学分析新讲重排本,等),但我仍旧是1)是不推荐用大部分中文的数学教材,2)是不推荐沿着大陆中高考以及考研数学的考试纲要作为主要的学习结构。

有非常多优秀的数学教材都可以在z-lib上进行下载,也可以寻找数学学习书单,每个人学习进度不一样,这里不做过多推荐。


Chap.2 推荐的数学学习路径

我认为的「基础数学知识」是以微积分与线性代数为上线,解简单方程为最低下限的一套「通识数学」体系,你可能要骂骂咧咧的说了:我*你个奶奶的微积分算个**的「基础数学」。但听我说完,实际上,微积分最大的难点是他的整套证明过程以及体系的构造方式,如果你只是普通的工科类、甚至经济类、计算机的学生,根本连epsilon-delta语言是什么都不需要知道。微积分最重要的意义是让你意识到这个世界是连续的,是可以被解释的。

作为前置需要的数学基础,你在学习「Calculus」和「Linear Algebra」之前,首先需要掌握大概以下一些基本的数学知识:

1)基本的代数运算,有方程的基本概念,知道如何透过等式同加同减同乘同除(0以外)的方式进行基本的算数操作,有简单的数学概念。
2)掌握一些函数的概念,函数的本质是找到2个变量之间的关系,譬如5块钱买1根鸡腿,那么10块钱买2根,可以抽象为f(n)=5n, n为正整数.
3)三角函数,知道一些基本的斜率以及正、余弦的概念,我不推荐用平面几何那种三角形的方式理解,这过于抽象,直接学任意交三角函数,理解sinx与cosx的含义分别为单位向量在y轴与x轴上的分量,有基本的概念就行。
4)会解简单的二次方程。

这些大概是中学应该掌握的,而下面这些我认为是高中应该掌握的,其为:

1)基本初等函数的概念,理解对数,指数的经济学意义,了解解二次方程对于物理问题的启发。有基本的画函数图形的概念。
2)充分了解向量的实际用途,特别是座标表示法,学会了向量,你编程上的很多算法难题都可以迎刃而解。
3)有比较熟练的数列概念,能够懂得运用求和公式计算等比、等差数列。
4)懂得解三角形,
5)能够利用向量解基本的立体几何问题,利用代数解基本的椭圆曲线的问题。
6)会一点基本的求导和理解导数的几何意义。
7)掌握一些概率统计的知识,
8)理解其他一些数学概念。

Chap.3 如何学习高等数学?

高等数学最重要的课程是微积分和线性代数,我觉得很可悲的是,几乎所有专业都需要学数学,但是所有专业都不告诉你为什么要学习数学;你更别说数学专业它自己,我的一个老师说他也是乱选的专业,上了就上了,现在觉得学数学最主要是教我们这不到百来号人有钱赚就是了。

我代数老师被文化大革命卡了快8年没读书,虽然这有点吃人血馒头的嫌疑,但我们每天上课最闲的反而是听他讲文革的经历,偶尔他会自己用笑嘻嘻的口气说「哎呀,然后就搞大革命了呀!」,偶尔也会突然讲着讲一半突然停下来开始哭,说以前文革毁了中国的数学学术研究。

但是扯回来为什么要学习高等数学,实际上高等数学最重要的2个思想就是:1)极限、求导与积分的基本概念,2)解多元线性方程的概念。

解多元方程的好处主要是在于如何透过几项变量能够得出我们所需要的结论,这也就是线性代数学要解决的主要问题。线性代数学习主要需要搞懂以下几个问题:
1)知道解方程的概念,n个未知数一般需要n个方程来解,否则就会产生自由变量或者无解;
2)把方程的系数搬出来就构造了矩阵。而矩阵本质上就是n个n维空间的向量仍在一起,
3)知道行列式的意义以及基本定义,理解行列式不为0的时候才有唯一解。
3.1) 其中,行列式按照某行某列展开,是证明的重要手段
3.2) 行列式的初等行变换不改变行列式的值,学会算它。
4)深入理解矩阵的意义,抽象出秩、极大线性无关组,向量组和矩阵的关系。
4.1)抽象出n维度空间的基本概念。
5)用线性无关、线性相关构造出一个n维度的Euclid空间,
6)线性变换的概念,如何通过矩阵变换座标等...

总的来说,线性代数的基本思路是:(开头)解方程—>矩阵—› 行列式,
而又有:(开头)解方程—›矩阵—>切分向量—>极大无关组—>n维Euclid空间—> 抽象的代数
或者说你想先开始学行列式的意义,也就是:(开头)行列式—>解方程—>矩阵—>线性空间

当然,你可以反过来思考,如果你玩过Minecraft的话,就会有基本的座标概念,那么,透过:
座标—>3维空间—›推广到n维空间—>如何构造一个n维空间—>n维空间的性质—>子空间—>线性映射—>矩阵—>向量—>正交向量、实向量空间、复向量空间 —> 最后再解释什么是行列式,也是可以的。

线性代数的本质是很多东西可以互相等价,譬如行列式和矩阵的关系,而方程组和矩阵的关系,矩阵如何切分成向量,向量如何表达为矩阵,向量能够构造出什么,而线性无关的向量又可以构造出什么样的世界。如果你真的难以理解,打开minecraft玩一会儿就懂了。线性代数不仅在计算机当中有着广泛用途,更重要的是能够计算经济关系,实际的让你赚到钱。

而说到赚钱,就不得不提分析经济的重要工具:增量。

那么既然谈到了增量,就不可避免的要用上微积分,这也是为什么微积分在每个学科当中都这么重要。而与线性代数不同的是,微积分的路径非常的显然。

或许你要说了,哎呀,我中学数学本来就不好,学到微积分简直是异想天开啊!但实际上不是这样的,这种思想就和200年前认为女性不适合学数学是一个道理。同样的,数学就像是肌肉,你学你就会,对于我们普通人来说,从来没有什么天赋之谈,或者说,我们的水平根本还没谈到天赋的程度,还是那句话,如何用数学,才是我们想知道的。

只要你理解一些数列的概念,懂得算一些简单的函数,能够理解一些代数和几何的含义,稍微巩固训练几个月高中的数学知识,基本上一个小学文化的人半年不到来学微积分绰绰有余了。为什么国内出高中要学那么久,实际上都是在刷难题罢了。虽然刷难题也有好处,一是锻炼韭菜的意志,二是培养出高端韭菜,三才是培养思维,因为真正的天才早就飞到不知道哪里去了。

我更加倾向于推荐阶梯式学习而不是模块化学习,也就是您每一次都在上一次的基础上学习更多的东西,而不是线性代数那样一个模块一个模块的突破。
1)「极限部分」 lv1 知道极限的含义,lv2 理解极限的epsilon-delta语言定义,学会运用洛必达法则 lv3 深刻理解epsilon-delta语言的用法以及定义,lv4 学会利用epsilon-delta语言构造实数体系
2)「导函数部分」 lv1 学会一点基本初等函数的求导,理解物理意义、经济学意义, lv2 掌握导数的具体定义,能够求复合函数的导函数,lv3 能够利用导数解决一些比较复杂的数学问题,算极值,最值,驻点,拐点, lv4 深刻理解导数的含义,能够熟练推广到其他的微积分领域,融会贯通
3)「积分部分」lv1 会算简单的定积分和不定积分,lv2 会算一些参数比较多的积分,透过凑配等方法,并掌握几何意义,知道面积的概念,lv3 学会替换参数、换元,分部积分法等,能够证明积分的存在与否,掌握黎曼和,达布和,黎曼可积的概念,

因篇幅有限,这里不再细谈。

Chap.4 到底要以什么样的节奏学数学?

如果你只需要数学来搞内卷,那么你只需要跟着老师的要求走就行,但也是有一些特殊窍门的,对于中等以及偏下的学生来说,掌握基本的数学概念,会刷例题了,答案看得懂了,就很以了。

而如果你想深挖、高考、考研或者需要4.0的绩点,就需要重复的做自己做错的题目,记录自己的错题,构造自己的笔记本,拥有一套你自己的数学体系。

我个人的建议是,不管你到底要学到什么程度,同一块章节,起码2周以内就得复习,否则一定会忘!例题一定要反复的刷,但切勿陷入刷题的陷阱。每天下午喝完咖啡以后脑袋有点清醒的那个状态是最适合学习数学的,请保证你在学习数学的时候有着充分的精神,否则很容易陷入迷茫,产生挫败感。

最后就是切勿大跃进,学习数学可以快,但千万不要一下子吃太多,每天1、2个小章节就很不错了,吃太多非常容易让你对于数学产生厌恶感,最后导致你放弃学习数学。

所以,重复以上观点:1)学会做例题,真的自己看不懂了就去看答案,2)想深究需要有笔记本,剖析题目以及背后的数学含义,3)适当安排学习进度,可以学的杂一点,比如上午微积分下午线性代数,但不要过分赶超,一天学一大堆东西。4)不论如何,2周以内必须复习。



卷末语

正如我一直所说,绝大部分学科的学生不需要太严格的掌握数学的全套证明过程,只要能够学会如何运用才是最有意义的数学学习路程。或者你如何依靠数学去在大内卷环境下卷赢其他所有人。赞扬「不严格的数学」体系本质上虽然背叛了数学的初心和本质,但作为「用数学人」,我们首要任务不就是如何掌握他的实际应用吗?

最后我想说说自己对于学习数学的一点切实感悟,其实数学给我最大的感悟就是要有「接受错误」和「抗打击」的能力,因为追求真理本就是一个困难的过程,学会接受自己的错误,去更正它,去更好的提升自己,去理解失败是常有的,而成功才是少数;才是数学给普通人最大的帮助。

数学绝对不是纯纯的所谓「锻炼思维」,数学是有真正的用途的,是能够应用到生活中的,如果只是为了锻炼思维,为什么不直接教你语文或者逻辑学就好呢?

但我也想提到的是,数学的本质是去心,匀质化,是抽象而不是具体,你对着一条自己算出来的指数函数曲线肯定毫无感觉,但是如果你这条函数是计算死亡人数,所有数据都是一个一个血淋淋的人命堆砌出来的呢?学习数学,是把能够抽象化的东西抽象出来,而不是要让你失去人性,变成一个只会内卷的机器。不要忘记每一个人都是一条鲜活的生命,而不是宏大叙述格局下的被献祭者。

笔者能力有限,若有纰漏可以指出,亦或是分享阁下的看法,也烦请读者多多指教!
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分享 2022-04-04

15 个评论

刘芳菲 新注册用户
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谢谢分享
我是做数学的。觉得数学是可以靠努力去学,但最终还是要看悟性的。学的不好的不必勉强,学得如鱼得水的要努力push自己拿数学作为职业追求,不要开小差半途而废。
墙国韭菜批发 新注册用户 (待解除)
有没有初学者适合看得数学书。
猫舌 🤬不友善用户
学数学相关专业的人表示挺好,楼主从高中数学讲到了大约数学专业大二水平课程的学习法。
我个人是习惯于先自己先推导一遍公式——看例题——自己做例题——做相关习题这样子的学习过程。
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朱依婷 🤬不友善用户
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这个世界并非全部都是连续的,离开实数系统,就有许多不连续。
好文,键政社区难得一见的干货。
高数挂科 线性代数挂科 复变函数挂科 概率统计挂科  。。。。。。
其实学了高等数学我最大的感受是对以前初等数学的问题有了更高层次的解释,确实充实了。
高数是基础课,后来学专业课也要用到,比如什么电磁方面,通信方面,信号方面。
所有的理工科和经济等学科都要用到数学,不过我们这里墙内的初高中生不多吧
中国的老师喜欢把简单的搞到复杂化,复杂的弄得变态化。外国老师把复杂的弄得简单化,简单的搞成通俗化。她最擅长点名提问,倘若回答不出来,就会当众凌辱你,用最尖酸刻薄的语言去攻击你,让你感到无地自容,借此打击你的自尊心。有时候我挺同情她,如果她活在哈利波特的世界,她说不定是下一个乌姆里奇教授。
arithmeticpwp 回复 墙国韭菜批发 新注册用户 (待解除)
>>

有一本非常有意思的叫做No Bullshit Guide to Linear Algebra,听名字就非常的狂野,不需要什么复杂的前置知识,只需要有一点数学基础,愿意啃下去就可以看懂。z-lib可下
今天世界上没有任何人能精通所有的数学领域,据说庞加莱是最后一个精通他当时所有领域的数学家。因为数学在自然科学和社会科学中是必不可少的,各学科的研究对象都需要数学来提供模型。

所以你对学问感兴趣,你自然会下功夫做学数学,根本不需要问“数学有什么用”这样的问题。比如你做物理研究广义相对论,那一定要学黎曼几何。一般的理工科至少要会解高阶线性微分方程。即使是偏社会科学的经济学,社会学和传播学领域,数理统计和概率论也是必须要过关的,否则做出来的研究没法看。这些应用内容往上走就涉及到数学理论,内容更加抽象,但定义也更加清晰和形式化。这时你如果还有兴趣,那你应该考虑走走学术道路了。
墙国韭菜批发 新注册用户 (待解除) 回复 arithmeticpwp
>>有一本非常有意思的叫做No Bullshit Guide to Linear Algebra,听名字...

英文版的,不懂英文,要翻译啃。

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