投资理论知识框架 第一篇 静态投资组合理论

金融学和经济学，由于所探讨的问题和大众生活紧密相关， 因此呈现出一种非常接近于人文学科的假象。很多人你让他讲讲微积分和统计学，他可能什么都讲不出来； 但是你让他聊聊股票市场和国民经济，哪怕他只是一个出租车司机，他也大概率会滔滔不绝讲出一套匪夷所思的理论体系，而且他的这套理论，且看起来逻辑自洽。

实际上，金融学和经济学，是建立在严格的数理模型之上。 未经过严格的专业训练的人，只能通过直觉和生活经验，去理解这些术语。 因此下定决心，投入精力做一些基础金融理论的普及。由浅入深，抛砖引玉。欢迎批评建议。

本身就没想着靠写这个发财，  单纯就是在分享知识，哪怕能有一个葱油看过觉得有启发，就达到的初衷了。


Static Portfolio Choice 静态投资组合选择 

市场上的所有资产（assets）可以按照风险程度分为：无风险资产（risk-free asset）和风险资产（risky asset）。通常无风险资产多指投资者所在市场央行发行的国债（Treasury bond）。投资者需要决定的问题是，如何将初始财富 w_0 ，在这两类资产之间进行分配。

可能的分配方案包括：将全部的初始财富  w_0 都配置在无风险资产上；将全部的初始财富  w_0 都配置在风险资产上；将全部的初始财富  w_0 的50% 和 50% 分别配置在无风险资产和风险资产上，等等。

为了在数学符号上保持一致，这里假设投资者分配 a 数量的财富在风险资产上，那么分配在无风险资产上的初始财富为 w_0-a 。

假设无风险资产的年回报率为 r , 风险资产的年回报率为 x ̃ 。x ̃ 的含义为一个随机变量 （random variable），会在不同的市场情况下，出现不同的值。

那么投资者在一年后的资产将从 w_0 变化为：





其中 w_0 (1+r) 为投资者的初始财富 w_0 所应获得的无风险收益部分；a(x ̃-r) 为其通过投资风险资产，所获得的收益部分。值得指出的是 (x ̃-r) , 为在该投资期间内，风险资产收益超出无风险资产收益的部分，被称为超额收益（excess return）。超额收益在金融投资理论中具有重要意义，这里暂不展开。

投资者此时所面临的问题为：如何通过选择 a ，来最大化 w_1 为其所带来的效用（utility）。这里需要提及的是， w_1 越大并不意味者投资者的 utility 一定越高。因为对于风险厌恶（risk-averse）的投资者来说，在获得收益（return）的同时，需要考虑其所承受的风险（risk）。

假设投资者的效用函数为 u(w_1), 含义为其效用函数的值取决于 w_1 ，随着 w_1 的变化投资者所获得的效用也会变化。  为了满足普遍性， 这里暂不明确效用函数的表达式，而是假设投资者为风险厌恶，也就是 u(w_1)的形状为一个单调递增的凹函数（concave curve），且效用函数 u(w_1) 同时满足一阶 （first order）和二阶（second order）可导（differentiable）。

此时，投资者所面临的问题，为一个优化求解（optimization）问题：





此时，投资者所面临的问题，为一个优化求解（optimization）问题：

以上数学表达式的含义为，通过改变 a 取值， 求得效用函数 u(w_1) 的最大值。u(w_1) 最大值所对应的 a 为该优化问题的最优解，标记为 a^* 。E 出现在表达式中，是因为 x ̃  为随机变量，因此这里的效用函数，并不是一个确定值，也是一个随着 x ̃ 变化的随机变量，因此这里就要引入期望值 E 。

使用通俗语言来描述这个优化求解问题为：通过改变 a 取值，找到一个最优的解 a^*,使得投资者所获得最大的期望效用 Eu(w_1 )。

对于优化求解问题，最常见的方式为，对目标函数（objective function）关于参数变量（argument）进行一阶求导，让导数值等于0。 这里的目标函数为投资者的效用函数u(w_1 )，参数变量为风险资产的投资金额 a 。



由于风险资产的投资过程中，投资者需要承担一定风险，因此风险资产收益率 x ̃ ，一定要大于无风险资产收益率 r，这就决定了 (x ̃-r)>0,  因此最优解 a^* 一定为 u^' (w_0 (1+r)+a(x ̃-r))=0 的解。
 
到这里为止，并没有对于投资者的效用函数表达式进行任何假设，因此以上结论适用于广泛的投资者的风险类型（risk profile）。进一步的数学推导，可以得到关于 a^* 的确定表达式（deterministic form）。

但是为了完成以上目标，需要引入更加复杂的数学知识，比如基于泰勒表达式（Taylor Expansion）的 Arrow-Pratt 近似法。  考虑到读者的广泛性，对于数学上的推导到这里不再进行更多深入。

下面使用一个具体实例，来展示以上理论的现实意义。

假设投资者的初始财富 w_0=100 , 无风险资产的回报率为 r=3% , 风险资产的期望回报率为 Ex ̃=8% , 假设投资者的效用函数为常见的简化形式 u(w)=1/(1-γ)  w^(1-γ)  ，其中 γ 可以理解为投资者的风险厌恶程度。

注：以上假设的效用函数为投资理论中常见的形式，且满足风险厌恶要求，比如单调性，一阶及二阶可导，凹函数形状等特性，但是不代表是唯一的效用函数。在经典的 Markowitz 的现代投资组合理论 (Modern Portfolio Theory) 中广泛使用的效用函数形式为 U=  Er_p-1/2 Aσ_p^2 , 其中包含了投资组合的期望收益 r_p  和组合风险 σ_p^2，以及不同投资者的风险态度（risk aptitude）测度值 A，这些理论会在后续的讲解中逐步深入。

根据假定的投资情形，投资者所面临的效用函数为：

u(w) =1/(1-γ)  w^(1-γ)
=1/(1-γ)  (100*(1+3%)+a*(8%-3%))^(1-γ)
=1/(1-γ)  (103+0.035a)^(1-γ)

对于u(w) 进行一阶求导：

u^' (w)=1/(1-γ)*(1-γ)*(103+0.05a)^γ*0.05 =0
(103+0.03a)^γ=0

此处上传LaTex截图提示网络错误，各位见谅

此时 γ  只要取任意正值， 可得103+0.03a=0 ，可以求得 a=103/0.03≈3433.33。 如何解读这个结果呢，一个投资者的初始资金为  w_0=100， 如何进行对风险资产投资 3433.33呢？ 答案是通过做空（short-selling）无风险资产3333.33，加上初始资产100 投入到风险资产中，这里的借贷成本（borrowing cost）为3%。

通俗的讲，这就是借钱炒股，也就是加杠杆的理论基础。 这样的投资组合选择，其目标并不是让投资者获得最大的收益，也并没有帮助其有效管理其所面临的风向敞口，而是最大化了该投资者的效用。

以上的实例，或许不符合绝大多数人的认知，这也是常识和生活经验无法很好的去解释市场行为的根本原因。 这个例子的结论，完全是基于假设的资产回报率和效用函数形式，所得到的一个结果，并不具有现实中普遍适用性。

但是以上内容的核心价值，在于引入了金融投资理论乃至经济学中一个非常重要的要素，就是效用（utility）。毫不夸张的讲，效用理论是整个新古典主义经济学的理论基石。 我们通常所说的理性市场参与者（rational investors），就是指投资者会最大化其效用值。 而对于具有不同风险偏好投资者效用函数的深入探讨，是更加复杂的行为金融领域的学术问题，这里不过多展开。
引用现代经济学奠基人 亚当.斯密 在其著作《国富论》中的一句名言：

“我们期待我们的晚餐，不是出于屠夫、酿酒师或面包师的恩惠，而是出于他们自身的利益。我们不是向他们的人道或公正呼吁，而是向他们自身的利益讲话，并且永远不会告诉他们我们自己的需要，而是告诉他们他们自己的优势。”

在当时，效用理论，尚未被提出。但是亚当斯密书中的“利益”，在新古典主义经济学中的具象即为效用。在亚当斯密《国富论》成书约200年后 1871年，威廉·斯坦利·杰文斯（William Stanley Jevons）在其著作《政治经济学理论》（ Theory of Political Economy ）中详细讨论了效用和边际效用，强调效用是衡量经济价值的关键。

References:
Eeckhoudt, Louis, Christian Gollier, and Harris Schlesinger. Economic and Financial Decisions under Risk. Princeton University Press, 2005. https://doi.org/10.2307/j.ctvcm4j15.